Um dos motivos da minha sugestão é exatamente para desmistificar o que você já repetiu algumas vezes de "o banco já aprovou". O primeiro passo de aprovação do cartão apenas diz que o número está correto e o cliente tem limite, e diminui o limite disponível. Mas depois disso que é feita a análise de anti-fraude para evitar chargebacks, e só então que a transação é capturada. Não fazer esse tipo de análise é pedir para ter elevado número de chargebacks mais para frente.
Sobre o cliente ser notificado, há emissores de cartão que notificam na autorização e outros que notificam na captura. Então os merchants precisam lidar com diferentes experiências de compra conforme banco emissor.
Termos mais procurados: